鴨子游過後的水波，為什麼總是呈八字形展開？
― 展開的角度，即使速度改變，仍維持在約39度
池塘裡的鴨子、船隻、掉進水裡的樹枝，只要是邊移動邊在水面前進的東西，身後都會留下形狀相同的八字形水波。而且，展開的程度幾乎不變。照理說移動越快，水波應該展開得越大，但事實並非如此。這個「總是同一個角度」的背後，藏著水面波一個有點不可思議的性質。
公園的池塘裡，一隻鴨子正緩緩游著。牠身後的水面上，留下一道長長的漂亮八字形水痕。
一旁，一艘更大的船隻咻地橫越而過。船的後方也同樣拖著八字形的水波。雖然大小完全不同，但展開的程度卻十分相似。
如果小孩問你「為什麼大家的形狀都一樣？」，你會怎麼回答呢？其實，這正是水面波的機制如實呈現在眼前的結果。
通往答案的線索，只有兩個
鴨子每推動一次水面，就會從那個位置擴散出一圈圓形的波紋。鴨子前進的過程中，這樣的圓圈會接連產生，並各自逐漸變大。留下的水痕，正是許多圓圈重疊而成的結果。
在深水上，波峰前進的速度，和整個波群前進的速度是不同的。波群的速度剛好是波峰速度的一半。這個「一半」的比例，正是決定角度的關鍵。
我們先來看第一點。
身後的水痕，是「圓圈的重疊」形成的
當某個東西在水面前進時，牠所經過的每一個點，都會擴散出一圈圓形的波紋。可以想像成，把丟石頭到池塘時產生的那種圓圈，沿著前進的路徑連續不斷地產生。
越舊的圓圈長得越大，越新的圓圈則還很小。當大小不同的圓圈整齊排列時，它們外側的邊緣會對齊，看起來就像一條筆直的線。這正是八字形外側邊緣的真面目。
聲音與飛機的衝擊波，也是依循類似的原理，形成圓錐形的波面。不過在水面的情況下，第二個線索會在此發揮作用，產生出乎意料的結果。
「一半的速度」，讓角度固定下來
仔細觀察池塘裡的波紋，會發現在一個圓圈之中，只有波峰的花紋朝前方穿越而去。波紋花紋前進的速度，和波所攜帶能量前進的速度，其實是不同的東西。
在深水上的波，波群的速度恰好是花紋速度的一半。也就是說，剛產生的圓圈，其「內容」只能前進圓圈邊緣距離的一半。
正因為這個一半的比例，把所有圓圈能到達的範圍全部重疊起來的外形，就會與前進速度無關，維持同樣的形狀。因為速度越快的物體，只是採用波長越長的波而已，比例本身並不會改變。角度單側約為19.5度，整體約為39度（圖1）。
這個39度角的說法，是在水深相對於波長足夠深的前提下成立的。在淺池中，波的速度由水深決定，角度會變得更寬。此外，當前進速度非常慢時，靠水面表面張力傳遞的細小波紋也會出現在前方，可能會在圓圈外側看到另一道水痕。
總結
八字形並不是鴨子刻意造成的。而是水面波「波群只能以花紋速度一半的速度前進」這項規律，直接呈現在眼前的樣貌。所以，不論對方體型是大是小、速度是快是慢，角度都會相同。
決定形狀的不是移動的物體，而是水本身。
所以鴨子和船隻，都會留下相同的八字形水波。
關於水面波本身，請參閱把石頭丟進池塘，為什麼會展開圓形的水波？；關於波浪崩潰的極限，也請參閱海浪最高能高到什麼程度？。
- 在浴缸或洗臉盆裡裝水，只伸入一根手指，以緩慢且穩定的速度橫向移動。身後就會出現八字形的水痕。
- 用大約兩倍的速度再試一次。水波會變大，但八字形展開的程度幾乎不變。
- 在池塘或河邊看到鴨子或水鳥時，用手機拍下水痕展開的樣子，再用量角器或紙張的角在畫面上量量看。如果接近40度，就成功了。
在水邊觀察時請留意腳下安全，不要從岸邊伸手去碰水。
想了解更多 ― 術語、數學式與教科書的關聯從國中理科到大學專業科目，會明確標示是哪個程度的內容
- 國中國中理科所學範圍
- 高中高中「物理基礎．物理」所學範圍
- 高中＋高中進階內容，或教科書專欄等級的內容
- 大學高中不會教、屬於大學專業科目（流體力學．波動論）的內容
- 研究即使在大學也還不是「定論」，而是研究者目前正在探究中的內容
國中術語：這個現象是有名字的
- 航跡（尾波）：在水面前進的物體身後所留下的波紋，包含向外展開成八字形的部分，以及內側與前進方向垂直排列的部分。
- 凱爾文角：航跡外側邊緣與前進路徑所形成的角度。單側約19.5度，整體約39度。
- 群速度：波群，也就是能量傳遞的速度。與花紋前進的速度（相速度）是不同的量。
國中高中用數學式驗證：展開角與10秒後水波的寬度
先建立決定角度的公式，接著計算鴨子游10秒後，水波會向兩側展開多少距離。
| 用符號表示 | cg ＝ c ÷ 2 （此時 sinθ ＝ 1 ÷ 3） |
| 用文字表示 | 「波群速度 ＝ 花紋速度 ÷ 2」，此時「外側邊緣角度的正弦值 ＝ 1 ÷ 3」 |
| 符號的意義 | cg：波群前進的速度（群速度，單位為公尺／秒）／c：花紋前進的速度（相速度，同單位）／θ：外側邊緣與前進路徑所形成的角度（單位為度） |
| 公式的由來 | 深水波中，波群前進的速度恰好是花紋速度的一半（群速度＝相速度的一半），由此推導而來。因為角度只由「一半」這個比例決定，所以前進速度不會出現在公式裡。 |
| 波群速度與花紋速度的比值 | 0.5（深水波的情況） |
| 正弦值為0.333時的角度 | 約為19.5度 |
| 19.5度的正切值 | 約為0.354 |
| 鴨子游泳的速度 | 每秒0.5公尺（緩慢游泳時） |
| 先算出公式右邊的數值 | 1 ÷ 3 ≒ 0.333 |
| 兩側合計的展開角（度） | 19.5 × 2 ＝ 39 |
| 10秒前進的距離（公尺） | 0.5 × 10 ＝ 5 |
| 單側的展開幅度（公尺） | 5 × 0.354 ≒ 1.77 |
| 兩側合計的寬度（公尺） | 1.77 × 2 ≒ 3.54 |
③ 換算成實際感受：短短10秒，水波的痕跡就會展開到大約一輛小型汽車的寬度。鴨子的體型大小，完全不會出現在決定角度的公式裡。所以，即使換成船隻，展開角依然會是39度。
高中高中＋為什麼速度會從公式中消失？
高中高中會學到波速、波長、頻率的關係，以及干涉現象中「波的疊加」。航跡可以視為，沿著前進路徑連續產生的圓圈相互疊加而成的結果。
高中＋在深水波中，波長越長，前進速度越快。這稱為色散，而速度與波長的關係則稱為色散關係。前進物體速度越快，主要激發出的波波長就越長，但群速度與相速度的比值，不論波長為何，始終維持在二分之一。由於角度只由這個比值決定，所以速度會從公式中消失。
大學凱爾文的定相位分析
在大學的流體力學．波動論中，這個八字形被稱為凱爾文航跡（凱爾文波形），可利用深水波的色散關係與定相位法推導出來。在表示水面形狀的積分式中，只有相位固定不變的方向，才會殘留在觀測點上——依循這樣的想法，可以算出外側邊緣單側約為19.47度。內側的弓形波紋稱為橫波系統，外側排列的細小水痕則稱為發散波系統，兩者會在外側邊緣上匯合。
📖 公式推導與更深入的內容：重力波 (流體力學) ／ Wake (physics)
研究目前尚未完全釐清的部分
- 對象速度非常快時，角度看起來會變窄。 在高速船艇或人造衛星影像中，曾有外側邊緣拍攝出比39度更窄的案例，究竟是視覺上的效果，還是另有其他機制，在2010年代持續有所討論。
- 游泳生物的能量收支。 水鳥為了造成航跡所消耗的力量，佔整體游泳力量的比例究竟有多少，會因物種與體型而異，目前測量案例仍然有限。
- 淺水處或有水流處的形狀。 在有河流水流或水深變化的水面上，航跡會產生扭曲。從實際河流中的形狀反推水深或流速的嘗試，至今仍是研究的對象。
也就是說，本文的內容也是「目前已知範圍內」的說明。請把它視為深水、平靜水面等條件齊備時，最理想形狀的說法。
與教科書的關聯（依程度分類）
| 程度 | 科目．單元 | 對應本文何處 |
|---|---|---|
| 國中 | 理科．聲音與光／波的傳遞方式 | 圓形波紋擴散的說明 |
| 高中 | 物理．波／疊加與干涉 | 圓圈疊加形成外側邊緣的說明 |
| 高中＋ | 物理進階．色散與群速度 | 速度從公式中消失的原因 |
| 大學 | 流體力學．水波理論 | 凱爾文航跡與定相位法 |
| 研究 | 海洋工程．生物流體力學 | 對象速度快時看起來的角度、生物的能量收支 |
| ― | 與生活的關聯 | 池塘或河邊看到的水波形狀、船隻帶到岸邊的波浪 |
- 日文維基百科「重力波 (流體力學)」（水面波的色散關係與群速度）
- 英文維基百科「Wake (physics)」（航跡的形狀與凱爾文角）
- 賀拉斯．蘭姆《流體力學》（水面波章節。深水波相速度與群速度的關係）
- 詹姆斯．萊特希爾《波動物理學》（含色散波與定相位法的解說）
※本文為大眾科普解說。文中數值僅為理解原理所用的參考概算。在水邊觀察時，請遠離岸邊、留意腳下安全，並遵守相關設施或地方政府的公告與指示。